Целые числа — int

Системы счисления

Python поддерживает десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные целые числа, причем не накладывается никаких ограничений на величину (длину) числа, лишь бы хватило памяти для его хранения.

Десятичные целые числа создаются, как обычно, с помощью десятичных цифр:

0
9
123
75384748327837257111764874480574356743982183458735233

причем, в десятичной системе счисления ни одно число, кроме нуля не может начинаться с цифры \(0\), что в общем-то и ежу понятно, но это значит что отбрасывания незначащих нулей не происходит, а их наличие приводит к ошибке:

>>> x = 000001
  File "<stdin>", line 1
    x = 000001
             ^
SyntaxError: invalid token

Двоичные числа состоят из префикса 0b (или 0B) и двоичных цифр: \(0\) и \(1\):

>>> 0b0, 0b1, 0b10, 0b111, 0b10001010001110111011001
(0, 1, 2, 7, 4529625)

Восьмеричные числа начинаются с префикса 0o (0O) и могут содержать только восьмиричные цифры: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) и \(7\):

>>> 0o0, 0o1, 0o10, 0o77, 0o12345670
(0, 1, 8, 63, 2739128)

Шестнадцатеричные числа начинаются с префикса 0x (0X) и могут содержать как все десятичные цифры, так и символы латинского алфавита: a, b, c, d, e, f (или A, B, C, D, E, F), которые в данном случае выступают в роли цифр:

>>> 0x0, 0x1, 0x10, 0xabcdf, 0x10f0a5d34a
(0, 1, 16, 703711, 72756876106)

В языках со строгой типизацией необходимо указывать как тип числа, так и то, что создаваемый объект сам является числом. Но в Python такой необходимости нет, интерпретатор сам, на основе анализа литералов целых чисел, способен понять что перед ним: число или нет, целое или вещественное, восьмеричное или двоичное.

Кстати, благодаря встроенной функции int() мы можем перевести в десятичную систему счисления, любое число представленное в другой системе счисления с основанием меньшим \(37\). Интересующее число указывается в виде строки в первом аргументе, а система счисления в котором оно представлено в виде целого числа во втором аргументе:

>>> int('111', 2)
7
>>> int('111', 3)
13
>>> int('111', 8)
73
>>> int('111', 16)
273
>>> int('1az', 36)
1691

Арифметические операции

Целые числа поддерживают следующие математические операции, которые отсортированы по убыванию приоритета:

Операция Результат Замечание
1 x ** y возводит x в степень y (I)
2 pow(x, y[, z]) возводит x в степень y по модулю z, где z – необязательный аргумент (I)
3 divmod(x, y) возвращает кортеж с парой чисел (x // y, x % y) (II)
4 x.conjugate() возвращает \(\bar{x}\) - число, которое комплексно сопряжено с \(x\)
5 complex(re, im) преобразует re в комплексное число (по умолчанию im = 0) (VI)
6 float(x) преобразует x в вещественное число (число с плавающей точкой) (VI)
7 int(x) переобразует x в целое число, представленное в десятичной системе счисления (V)(VI)
8 abs(x) абсолютное значение (модуль) числа x
9 +x делает число x положительным
10 -x делает число x отрицательным
11 x % y остаток от деления x на y (II)
12 x // y результат целочисленного деления x на y (III) (II)
13 x / y результат "истинного" деления x на y (IV)
14 x * y произведение x и y
15 x - y разность x и y
16 x + y сумма x и y

Важно: приоритет математических операций выше побитовых логических операций и операций сравнения.

Замечания:

I. возведение \(0\) в степень \(0\) возвращает \(1\):

>>> 0**0, pow(0, 0)
(1, 1)

Извлечение корней четной степени из отрицательных чисел не вызывает ошибки, а возвращает комплексное число:

>>> (-1)**0.5
(6.123233995736766e-17+1j)
>>> 
>>> pow(-25, 1/4)
(1.5811388300841898+1.5811388300841895j)

II. функция divmod() и операция %, // не работают для комплексных чисел. Для вас это может быть и очевидно, но не пользователя для которого вы пишите программу.

III. если оба числа типа int то и результат будет типа int. Данная операция всегда возвращает целое число, т.е. если число x можно представить в виде d*y + r, то x//y = d (r – остаток от деления). Так же следует иметь ввиду, что результат данной операции всегда округляется в сторону минус бесконечности:

>>> 1//2, (-1)//2, 1//(-2), (-1)//(-2)
(0, -1, -1, 0)

Это немного сбивает с толку, но проверив результат по формуле x = d*y + r, вы убедитесь что все верно.

IV. даже если оба числа типа int, то результат все равно будет преобразован к типу float.

V. встроенная функция int() пропускает числа (объекты) типа int "как есть", не выполняя над ними, абсолютно никаких действий.

VI. строго говоря эти функции не являются математическими, но они могут учавствовать в математических выражениях Python и поэтому должны обладать приоритетом.


Логические побитовые операции

Фактически, если число можно перевести в двоичную систему счисления, значит его можно рассматривать как двоичные данные. Учитывая, что такие данные состоят из нулей и единиц, которые интерпретируются как логические значения True и False, мы можем выполнять над ними логические операции. Логические операции выполняются по отдельным битам соответствующих разрядов. Если в операции учавствуют числа с разным количеством разрядов, то недостающие разряды дополняются нулями слева.

Данные операции могут быть выполнены, только над целыми числами. Если в выражении или в результате операции имеются отрицательные числа, то они представляются в виде дополнительного кода. Например, мы знаем, что результатом логического оператора ~ (побитовое НЕ) примененного, скажем, к числу 0b111 должно быть число 0b000, но вместо этого мы видим число дополнительный код которого соответствует данной операции:

>>> bin(7)
'0b111'
>>> ~7
-8
>>> bin(-8)
'-0b1000'

В таблице перечислены все побитовые операции в порядке убывания их приоритета:

Операция Результат Замечание
1 ~x инвертирование битов x (I)
2 x >> n сдвиг битов числа x вправо на n разрядов (II)(III)
3 x << n сдвиг битов числа x влево на n разрядов (II)(IV)
4 x & y побитовое И чисел x и y
5 x ^ y побитовое исключающее ИЛИ чисел x и y
6 x | y побитовое ИЛИ чисел x и y

Важно: приоритет побитовых операций ниже математически, но выше операций сравнения.

Замечания:

I. унарные операции ~, + и - имеют одинаковый приоритет.

II. отрицательное значение в выражеиях x << n и x >> n приведет к ошибке и вызовет исключение ValueError.

III. операция x << n эквивалентна команде x*pow(2, n), но проверка переполнения в этой команде не выполняется:

>>> 7 << 3, 7*pow(2, 3)
(56, 56)

IV. операция x >> n эквивалентна команде x // pow(2, n), но проверка переполнения в этой команде не выполняется:

>>> 63 >> 3, 63//pow(2, 3)
(7, 7)

Операции сравнения

Для сравнения чисел, доступно \(8\) операций сравнения, причем все они имеют одинаковый приоритет:

Операция Результат Замечание
1 x < y True если x меньше y, иначе False
2 x <= y True если x меньше или равно y, иначе False
3 x > n True если x больше y, иначе False
4 x >= n True если x больше или равно y, иначе False
5 x == y True если x равно y, иначе False
6 x != y True если x не равно y, иначе False
7 x is y True если x и y это один и тот же объект, иначе False
8 x is not y True если x и y это не один и тот же объект, иначе False

Важно: приоритет операций сравнения ниже математических и побитовых операций.

Наряду с оператором сравнения значений чисел == и !=, в Python имеются операторы is и is not, которые позволяют выяснить, являются сравниваемые значения одним и тем же объектом или нет. Например:

>>> a = 1001
>>> b = 1000 + 1
>>> 
>>> a == b
True
>>> 
>>> a is b, a is not b
(False, True)

Не смотря на то, что значения a и b равны, в памяти компьютера они хранятся как разные объекты:

>>> id(a), id(b)
(3071801680, 3071801728)

Однако, придумать для данного оператора сколь-нибудь полезное практическое применение, относительно математических операций я не могу.

В Python сравнение x > y and y > z является эквивалентным x > y > z т.е. сравнения связаные оператором and в произвольные цепочки могут быть записаны в более компактной форме. Выполнение таких выражений начинается слева направо и останавливается как только будет получено первое значение False. Это означает, что если в выражении x > y > z сравнение x > y вернет False то сравнение y > z выполняться не будет.


Методы целых чисел

Целые числа – это объекты, которые обладают следующими методами:

int.bit_length()
возвращает количество бит, которое необходимо для представления числа в памяти, без учета знака и незначащих нулей:
>>> x = 204
>>> bin(x)
'0b11001100'
>>> 
>>> x.bit_length()
8
>>> 
>>> (-0b000000000000001).bit_length()
1
int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False)
возвращает массив байтов, который соответствует данному числу:

Параметр length задает необходимое количество байтов, а byteorder определяет в каком порядке возвращать байты: значение 'big' – от старшего к младшему, 'little' – от младшего к старшему. Оба параметра являются обязательными:

>>> (129).to_bytes(2, byteorder = 'big')
b'\x00\x81'
>>> 
>>> (129).to_bytes(5, 'big')
b'\x00\x00\x00\x00\x81'
>>> 
>>> (129).to_bytes(5, 'little')
b'\x81\x00\x00\x00\x00

Если указанных байтов недостаточно для представления числа, то будет вызвано исключение OverflowError. А что бы узнать и (или) использовать порядок байтов который использует машина, выполняющая код используйте sys.byteorder.

Параметр signed позволяет установить использование дополнительного кода для отрицательных целых чисел:

>>> (127).to_bytes(2, 'big', signed = True)
b'\x00\x7f'
>>> 
>>> (-127).to_bytes(2, 'big', signed = True)
b'\xff\x81'

Если signed = False, а число является отрицательным, то будет вызвано исключение OverflowError.

classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False)
возвращает целое число, которое соответствует указанному массиву байтов.

Параметры bytes и byteorder являются обязательными. bytes - должен быть байто-подобным объектом (строки байтов, массивы байтов, array.array и т.д.). Описание параметров byteorder и signed смотрите в int.to_bytes():

>>> int.from_bytes(b'\x00\x7f', byteorder = 'big')
127
>>> 
>>> int.from_bytes(b'\x00\x7f', byteorder = 'little')
32512
>>> 
>>> int.from_bytes(b'\xff\x81', 'big', signed = True)
-127
>>> 
>>> 
>>> int.from_bytes([1, 0], 'big')    #  можно указать "массив" байтов
256
>>> int.from_bytes([255, 255], 'big')
65535