Делимость на 7

Давайте зададимся вопросом: а может ли делиться на 7 число вида \(a\cdot 1000\)? Очевидно, что оно будет делиться на 7 только если само \(a\) будет кратно 7. С другой стороны, число \(a\cdot 1000\) может быть записано как \(7\cdot142\cdot a\;+\;6\cdot a\). Такая запись позволяет отвечать на вопросы о делимости, оперируя более малыми числами. Например, теперь можно сказать, что число \(a\cdot 1000\) будет делиться на 7 если мы сможем подобрать такое \(a\) при котором на 7 будет делиться \(6a\).

Польза от такой записи становится более очевидной если мы начинаем говорить, например о числах вида \(\overline{ab00}\), т.е. числах которые могут быть записаны вот так:

$$N = \overline{ab00} = a\cdot 1000 \;+\;b\cdot100$$

Чтобы ответить на вопрос о том могут ли делиться числа такого вида на 7, мы можем переписать его алгебраическую запись следующим образом:

$$a\cdot 1000 \;+\;b\cdot100= 7\cdot142\cdot a\;+\;6\cdot a +7\cdot14\cdot b\;+\;2\cdot b$$

Выполнить нехитрую группировку:

$$7\cdot142\cdot a\;+\;6\cdot a \;+\; 7\cdot14\cdot b\;+\;2\cdot b = 7(142\cdot a\;+\;14\cdot b) \;+\;\left \{ 6\cdot a \;+\; 2\cdot b \right \}$$

Взгляните, очевидно что первое слагаемое будет делиться на 7 при любых \(a\) и \(b\). А вот второе слагаемое, обозначенное фигурными скобками, может как делиться на 7, может и не делиться. Т.е. вопрос о делимости числа сводится к вопросу "Сможем ли мы подобрать такие \(a\) и \(b\) что бы выражение \(\left \{ 6\cdot a \;+\; 2\cdot b \right \}\) делилось на 7 ???"

Давайте немного перефразируем вопрос: "Можем ли мы подобрать в выражении \((6\cdot a \;+\; 2\cdot b):7 =k\) такие \(a\) и \(b\) что бы \(k\) было целым числом ???"

Ответить на этот вопрос будет гораздо проще если мы перепишем наше выражение вот так:

$$k=\frac{6\cdot a}{7} \;+\; \frac{2\cdot b}{7}$$

При этом нужно еще не забывать, что \(a\) и \(b\) – это цифры, т.е. они находятся в интервале \([0;9]\)

Однако, в таком контексте, мы можем сказать только следующее: "Вышеупомянутое выражение будет делиться на 7 только если \(a\) и \(b\) сами равняются 7." Фктически, все что мы смогли найти, так это лишь одно число \(7700\). Хотя мы знаем что таких чисел гораздо больше, например: \(1400, 2100, 2800\) и т.д.

Однако, подождите, кажется я не очень внимателен. Если мы перепишем выражение вот так:

$$k=\frac{6\cdot a \;+\; 2\cdot b}{7}$$

И подставим в него очевидные цифры, допустим из числа \(2800\), то мы увидим что числитель будет делиться на 7 без остатка:

$$\frac{6\cdot a \;+\; 2\cdot b}{7}=\frac{6\cdot 2 \;+\; 2\cdot 8}{7}=\frac{12 \;+\; 16}{7} = \frac{28}{7}=4$$

Это все попахивает рутинным перебором, но напомню, что это вопрос делимости, т.е. нам нужно найти хотя бы один пример числа которое может делиться и все. С другой стороны, глядя на выражение:

$$k=\frac{6\cdot a \;+\; 2\cdot b}{7}=2\cdot\frac{(3\cdot a \;+\; b)}{7}$$

Мы можем точно утверждать, что все частные числа \(\overline{ab00}\) на 7 будут четными. В определенных ситуациях, такие утверждения могут оказаться очень полезными.


Закрепим результат

Давайте попробуем выяснить, может ли какой-нибудь счастливый билет делиться на счастливое число 7.

$$1000a \;+\; 100b \;+\; 10c \;+\; d = \\ =7\cdot142 \;+\; 6a \;+\; 7\cdot14b \;+\; 2b \;+\; 7c \;+\; 3c \;+\; d = \\ =7(142a \;+\; 14b \;+\; c) \;+\; \left \{ 6a \;+\; 2b \;+\; 3c \;+\; d \right \}$$

И снова мы приходим к знакомой формулировке: число будет делиться на 7 только если выражение \(6a \;+\; 2b \;+\; 3c \;+\; d \) при деление на 7 даст какое-нибудь целое число \(k\), т.е. нам снова надо подобрать такие \(a\), \(b\) и \(c\), которые бы позволили это сделать:

$$\frac{6a \;+\; 2b \;+\; 3c \;+\; d}{7} = k$$

Снова вспоминаем что \(a+b=c+d\;\Rightarrow\; a=c+d-b\) и подставляем в выражение, тогда мы получим:

$$6c \,+\, 6d \,-\, 6b \,+\, 2b \,+\, 3c \,+\, d = 7k\;\;\Rightarrow \\ \Rightarrow \;\; 9c \,+\, 7d \,-\, 4b = 7k$$

Скорее всего, нам нужно выполнять какие-то дальнейшие преобразования, но так, что бы присутствие \(a\), \(b\) и \(c\) сохранялось. Возможно это не так. Например, если проверяя очередную гипотезу о делимости, мы вдруг сможем избавиться от какой-то переменной, то это может означать, что соответствующая цифра может быть абсолютно любой. Например, мы можем потанцевать с бубном над полученным выражением и получить:

$$b = 2l\,-\,2c\,-\, \frac{l+c}{4}\;\; ; \;\; l = k\,-\,d$$

Можем ли мы теперь утверждать, что \(d\) может быть любой цифрой? Можете проверить сами. Но я лучше попробую сохранить все цифры в выражении, а именно выполню такие преобразования:

$$9c \,+\, 7d \,-\, 4b = 7k;\;\Rightarrow \;\; 7d = 7k\,- \, 9c\,+\,4b \;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \;\; 7d = 7k-7c-2c+7b-3b \;\; \Rightarrow \\ \Rightarrow \;\; 7d = 7(k-c+b)-2c-3b$$

Пусть \(k-c+b = l\), тогда:

$$7d=7l-2c-3b\;\; \Rightarrow \;\; d = l - \frac{2c+3b}{7}$$

Напомню, нам нужно найти всего один пример делимости, так что наберемся терпения и... заметим что \((2c+3b):7\) так же должно быть целым. Самые очевидные значения это \(c = 7\) и \(b = 0\). В этом случае \((2c+3b):7 = (2\cdot7+3\cdot0):7 = 2\). Но \(d\) не может быть меньше 0, и, кстати, не может быть равна 0, а это возможно только при \(l=3\). В этом случае мы получим \(d = 3 - 2 = 1\). И так мы получили \(d=1\), \(c=7\) и \(b=0\), учитывая, что \(a = c+d-b = 7+1-0 = 8\). В результате мы получаем число \(8071\), которое при делении на 7 дает 1153. А это значит, что среди четырехзначных счастливых билетов, есть как минимум один, который может делиться на семь.

Ответ найден.