Делимость на 8

Как вы поняли, мы все сильнее усложняем задачу. Теперь мы хотим выяснить, есть ли счастливые числа, которые делятся на 8. Признак делимости на 8, довольно непрост – три последние цифры числа, должны образовывать число, которое делится на 8. А именно, на 8 должна делиться сумма цифры из разряда единиц с удвоенной цифрой из разряда десятков и учетверёной цифрой из разряда сотен.

Звучит довольно непросто, но мы-то знаем, что лучше попытаться и воспользоваться хоть каким-то шансом на победу, чем вообще не пытаться и стопроцентно проиграть.

$$1000a+100b+10c+d = \\ = 8\cdot125a+8\cdot12b+4b+8c+2c+d = \\ = 8(125a+12b+c)+4b+2c+d$$

Обратите внимание на то, что переменная \(a\) "целиком" оказалась в той части выражения, которая гарантированно делится на 8, а именно: \(8(125a+12b+c)\). В то время, как остаток от деления, целиком и полностью удовлетворяет признаку делимости на 8: число (и не только счастливое) делится на 8 если делится на восемь выражение \(4b+2c+d\), где \(d\) - это количество единиц, \(c\) - количество десятков, \(b\) - количество сотен.

В принципе, мы уже можем подобрать какое-нибудь счастливое число, делящееся на 8. Все, чем нам достаточно руководствоваться это двумя выражениями \(a+b=c+d\) и \(4b+2c+d\). Например, мы знаем, что число 104 делится на 8 и если его цифры подставить в выражение \(4b+2c+d\), то мы так же получим значение которое делится на 8. Теперь, зная что \(a=c+d-b\), получаем \(a = 3\), и, собственно, само число \(3104\), которое делится на 8 без остатка и является счастливым.