Делимость на 19
Теперь если мы все это знаем, давайте снова вернемся к вопросу "Может ли хоть один счастливый илет делиться на 19 ???"
И так, перепишем наше число вот так:
$$\overline{abcd} = a\cdot 1000 \;+\;b\cdot100\;+\;c\cdot10\;+\;d = \\ = 19 \cdot 52 \cdot a \;+\; 12\cdot a \;+\; 19\cdot5\cdot b \;+\;5\cdot b \;+\; 19\cdot0\cdot c \;+\; 10\cdot c +19\cdot0\cdot d \;+\; d= \\ 19\cdot(52\cdot a \;+\; 5\cdot b) \;+\; \left \{ 12\cdot a \;+\; 5\cdot b \;+\; 10\cdot c \;+\; d \right \}$$И суть вопроса сводится к другому, уже знакомому выражению:
$$\frac{12\cdot a \;+\; 5\cdot b \;+\; 10\cdot c \;+\; d }{19} = k$$
Если вспомнить что \(a+b=c+d\), то \(a=c+d-b\) и если подставить это в наше выражение то мы получим:
$$12\cdot c \;+\; 12\cdot d \;-\; 12\cdot b \;+\; 5\cdot b \;+\; 10\cdot c \;+\; d = 19\cdot k \Rightarrow \\ \Rightarrow 22\cdot c \;+\; 13\cdot d \;-\; 7\cdot b = 19\cdot k \Rightarrow \\ \Rightarrow 3c\;-\;6d\;-\;7b=19(k\;-\;c\;-\;d)$$
Глядя на правую часть мы можем точно утверждать, что выражение \(k\;-\;c\;-\;d\) должно быть целым, положительным или отрицательным, но точно целым. Давайте введем новую переменную \(l = k\;-\;c\;-\;d\), тогда:
$$3c\;-\;6d\;-\;7b=19l \;\; \Rightarrow \;\; 3c = 19l \;+\; 6d \;+\; 7b \Rightarrow \\ \Rightarrow 3c = 18l \;+\; l \;+\; 6d \;+\; 6b \;+\; b\Rightarrow \\ \Rightarrow 3c = 3(6l \;+\; 2d \;+\; 2b) \;+\; l \;+\; b\Rightarrow \\ \Rightarrow c = 6l \;+\; 2d \;+\; 2b \;+\; \frac{l \;+\; b}{2}$$
Этот результат выглядит абсолютно бесполезным, но на самом деле это и есть ключ к ответу. Переменная \(с\) находится в пределах интервала \([0;9]\), так что наши переменные \(l\), \(b\) и \(d\) тоже не могут принимать произвольные значения. Давайте предположим, что \(l=0\), тогда:
$$c = 2d\;+\;2b\;+\;\frac{b}{2}$$
Теперь мы знаем что \(b\) должно делиться на 2, т.е. может принимать следующие значения: \(0, 2, 4, 6, 8\). Что ж пусть \(b\) будет равно 0. Тогда \(c=2d\). Теперь мы можем записать что-то вроде таблицы всех допустимых значений:
| \(d\) | \(c=2d\) | \(b=0\) | \(a=c+d-b\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 | 3 |
| 2 | 4 | 0 | 6 |
| 3 | 6 | 0 | 9 |
| 4 | 8 | 0 | \(\varnothing\) |
Самое любопытное, что мы получили три числа: \(9063, 6042, 3021\), и все они делятся на 19:
$$\frac{9063}{19}=477; \;\;\;\frac{6042}{19}=318; \;\;\;\frac{3021}{19}=159$$
Это можно считать хорошим результатом, так как теперь мы имеем все основания утверждать что среди счастливых билетов есть те, которые делятся на 19. Более того, мы получили что-то вроде правила по которому мы можем такие билеты составлять.
