Числа и их свойства

Задания данного типа больше всего сбивают с толку. С одной стороны – это простые алгебраические выкладки, причем уровня 7-8 класса. С другой стороны – это элементарнейшая теория чисел: НОД, НОК, остатки от деления и т.п. Но решить их очень трудно. Если честно, иногда не удаетсяпонять понять даже готовые решения.

Вся проблема заключается в том, что эти задания относятся к алгебраической теории чисел - весьма спорное и неправдоподобное заявление. Но на самом деле это так. По сути мы задаемся вопросами о свойствах чисел и пытаемся ответить на них с помощью алгебры. Хорошо, даже если это не алгебраическая теория чисел, то мы все равно задаем вопросы о свойствах чисел, а ответы ищем с помощью алгебры.

Вся "непривычность" и "непонятность" этих задач связана с контекстом, в котором мы как правило никогда не работали. Например, мы никогда не сталкивались с обозначениями такого вида:

$$\overline{abcd}$$

Хотя такая запись всего лишь означает, что перед нами четырехзначное число, где переменные \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — это цифры, то есть эту запись можно представить вот так:

$$1000a+100b+10c+d$$

Теперь давайте зададимся вопросом: а может ли данное число делиться, скажем, на 15? Конечно же может, но только если выполняется соотношение:

$$a+b+c = \frac{15k-d}{10}$$

Откуда взялось это соотношение? Почему именно такое соотношение?

В самом деле, если вы новичок, это вовсе не очевидно. Хотя если, вы и новичок, то можете сами попытаться подобрать подходящие значения. Однако, не следует забывать о контексте: \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) — это цифры, а значит:

$$0 \leqslant a \leqslant 9;\;\;\; 0 \leqslant b \leqslant 9;\;\;\; 0 \leqslant c \leqslant 9;\;\;\; 0 \leqslant d \leqslant 9$$

Хорошо, мы будем помнить об этом. Тогда, пусть \(k\) будет равно 5, подставляем: \(15k - d = 15\cdot5-d=75-d\). Значение \(75-d\) будет делиться на 10 толлько если \(d\) будет равно 5, получим что \(a+b+c = 7\). И что, неужели число будет делиться на 15 если \(d = 5\), а \(a+b+c = 7\)??? Да! Например числа \(1245\), \(4215\), \(2145\) будут делиться на 15 без остатка:

$$0\frac{1245}{15}=83;\;\;\; \frac{2145}{15}=143;\;\;\; \frac{4215}{15}=281; $$

Все становится намного "интереснее" и "счастливее", когда мы начинаем придумывать интересные и счастливые числа. Например, мы можем договориться что четырёхзначное число будет считаться интересным если в его записи \(\overline{abcd}\) все цифры попарно различны и \(a+c=a+d\). А вот числа в которых все цифры попарно различны, но \(a+b=c+d\) мы будем считать счастливыми.

Может показаться, что мы добавили всего несколько небольших ограничений. Но станет ли проще от этого ответить на вопрос: "Может ли какое-нибудь счастливое или интересное число делиться на 15?"

Однако, речь вовсе не обязана идти только о натуральных и целых числах. Мы можем вытворять подобные "чудеса" и с рациональными числами. Например, может ли выполняться соотношение:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=3$$

Понятно, что речь идет о сумме 6-ти дробей. Однако, мы можем преобразовать это выражение и так:

$$\frac{bcdef+acdef+abdef+abcef+abcdf+abcde}{abcdef}=3$$

Таким образом можно сказать, что речь идет о какой-то одной, очень странной дроби, которая либо может либо не может равняться 3. Выглядит устрашающе, но на самом деле к таким задачам можно подобраться. Особенно если немного попрограммировать и начать с очень легких примеров.

Так что не следует отчаиваться. За несколько дней, а может и недель эти задачи сдадутся, а вы немного освоитесь с программированием и весьма любопытными математическими "трюками", которые на самом деле могут очень сильно пригодиться, например в криптографии, теории чисел, абстрактной и компьютерной алгебре, теории информации и т.д. и т.п.